第二百五十九章 见证奇迹吧！（下）
很久很久以后。
小麦在自己的回忆录《他改变了剑桥》中提及今日的实验时，曾经很亲切的写下了一句话：
“囸孨閁，罗峰！”
这句话包含了小麦极其复杂的情感，简称就是社死到抠脚的尴尬。
毕竟在场的除了小麦本人和徐云之外，还有阿尔伯特亲王、法拉第、以及焦耳等一系列物理书上的单位......
当然了。
此时的小麦还是个非常憨厚的小青年，还没意识到自己做了一件多么中二的事情。
念完这句话后虽然有些脸红，但还未产生后来那种想要一斧头劈死徐云的地步。
随后他将这张纸片交还给徐云，问道：
“罗峰先生，我们接下来要做些什么？”
徐云看了他一眼，语重心长的拍了拍他的肩膀，说道：
“不是说了么，解开电磁世界的封印呗。”
小麦：
“.......”
随后徐云表情一正，带着他来到法拉第等人面前：
“法拉第先生，根据当初肥鱼先祖的思路，我们接下来要做的一共有两件事。”
法拉第等人做洗耳恭听状。
徐云竖起一根手指，解释道：
“首先是推导，其次是实验。”
“推导？”
法拉第扶了扶眼镜，重复了一遍这个词，对徐云问道：
“推导什么东西？”
徐云没有直接回答问题，而是反问道：
“法拉第先生，我听说您曾经提出过一个理论，也就是电荷的周围必然存在有电场，对吗？”
法拉第点了点头。
学过物理的同学应该都知道。
法拉第最早引入了电场概念，并提出用电场线表示电场的想法。
同时还利用磁铁周围的铁屑模拟了磁感线的情况。
徐云见说微微一笑，压制住心中的情绪，尽量面色平静的说道：
“我们接下来要推导的，就是电场中存在的一种东西。”
随后他拿起纸和笔，在纸上画出了一道波浪图。
也就是正弦函数的图像。
接着他在图像上画了个圈，对法拉第等人说道：
“法拉第先生，我们研究物理，目的就是为了从万千变化的自然界的各种现象里，总结出某种一致性。”
“然后用数学的语言定量、精确的描述这种一致的现象。”
“比如牛顿先生提出的F=ma，1824年热力学的△S＞0、读者=帅逼美女等等.....”
“那么问题来了，在我们现有的世界中，有没有一道数学方程可以描述波呢？”
法拉第等人沉默片刻，缓缓摇了摇头。
波。
这是个生活中非常常见的词，或者说现象。
除了柰子之外，石头掉进水里产生的是波。
抖动绳子出现的也是波。
风吹过湖面产生的还是波。
早先曾经介绍过。
1850年的物理学水平其实并不低，此时的科学界已经可以测量出频率、光波长这些比较精细的数值。
无外乎描述的单位还是负几次方米，不像后世那样有纳米微米的说法罢了。
在这种情况下。
自然也曾经有不少人尝试研究过波，远的有小牛，近的有欧拉。
但遗憾的是。
由于时代思路的局限性，科学界一直没能推导出一个标准的、可以描述波规律的数学方程。
不过眼下徐云问出了这种话......
莫非.......
“罗峰同学，难道肥鱼先生已经推导出了波运动的数学表达式？”
徐云依旧没有直接回答这个问题，而是继续在纸上写了起来。
他先在之前绘制出的函数图像上做了个基础的坐标系。
又在X轴方向上画了个→，写上了一个V字。
这代表着一个波以一定的速度v向x轴的正方向运动。
接着徐云解释道：
“首先我们知道，一个波是在不停地移动的。”
“这个图像只是波在某个时刻的样子，它下一个时刻就会往右边移动一点。”
法拉第等人齐齐点了点头，
这是标准的人话，不难听懂。
至于波在下个时刻移动了多少也很好计算：
因为波速为v，所以Δt时间以后这个波就会往右移动v·Δt的距离。
随后徐云在其中一个波峰上画了个圈，又说道：
“在数学角度上来说，我们可以把这个波看成一系列的点（x，y）的集合，这样我们就可以用一个函数y=f(x)来描述它，对吧？”
函数就是一种映射关系，在函数y=f(x)里，每给定一个x，通过一定的操作f(x)就能得到一个y。
这一对（x，y）就组成了坐标系里的一个点，把所有这种点连起来就得到了一条曲线——这是货真价实的初一概念。
接着徐云又在旁边写了个t，也就是时间的意思。
因为单纯的y=f(x)，只是描述某一个时刻的波的形状。
如果想描述一个完整动态的波，就得把时间t考虑进来。
也就是说波形是随着时间变化的，即：
图像某个点的纵坐标y不仅跟横轴x有关，还跟时间t有关，这样的话就得用一个二元函数y=f(x，t)来描述一个波。
但是这样还不够。
世界上到处都是随着时间、空间变化的东西。
比如苹果下落、作者被读者吊起来抖，它们跟波的本质区别又在哪呢？
答案同样很简单：
波在传播的时候，虽然不同时刻波所在的位置不一样，但是它们的形状始终是一样的。
也就是说前一秒波是这个形状，一秒之后波虽然不在这个地方了，但是它依然是这个形状。
这是一个很强的限制条件。
既然用f(x，t)来描述波，所以波的初始形状（t=0时的形状）就可以表示为f(x，0)。
经过了时间t之后，波速为v。
那么这个波就向右边移动了vt的距离，也就是把初始形状f(x，0)往右移动了vt。
因此徐云又写下了一个式子：
f(x，t)=f(x-vt，0)。
接着他看了法拉第一眼。
在场的这些大佬中，大部分都出自专业科班，只有法拉第是个学徒出身的‘九漏鱼’。
虽然后来恶补了许多知识，但数学依旧是这位电磁大佬的一个弱项。
不过令徐云微微放松的是。
这位电磁学大佬的表情没什么波动，看来暂时还没有掉队。
于是徐云继续开始了推导。
“也就是说，只要有一个函数满足f(x，t)=f(x-vt，0)，满足任意时刻的形状都等于初始形状平移一段，那么它就表示一个波。”
“这是纯数学上的描述，但这还不够，我们还需要从物理的角度进行一些分析。”
“比如......张力。”
众所周知。
一根绳子放在地上的时候是静止不动的，我们甩一下就会出现一个波动。
那么问题来了：
这个波是怎么传到远方去的呢？
我们的手只是拽着绳子的一端，并没有碰到绳子的中间，但是当这个波传到中间的时候绳子确实动了。
绳子会动就表示有力作用在它身上，那么这个力是哪里来的呢？
答案同样很简单：
这个力只可能来自绳子相邻点之间的相互作用。
每个点把自己隔壁的点“拉”一下，隔壁的点就动了——就跟我们列队报数的时候只通知你旁边的那个人一样，这种绳子内部之间的力就叫张力。
又比如我们用力拉一根绳子，我明明对绳子施加了一个力，但是这根绳子为什么不会被拉长？
跟我的手最近的那个点为什么不会被拉动？
答案自然是这个点附近的点，给这个质点施加了一个相反的张力。
这样这个点一边被拉，另一边被它邻近的点拉，两个力的效果抵消了。
但是力的作用又是相互的，附近的点给端点施加了一个张力，那么这个附近的点也会受到一个来自端点的拉力。
然而这个附近的点也没动，所以它也必然会受到更里面点的张力。
这个过程可以一直传播下去，最后的结果就是这根绳子所有的地方都会张力。
通过上面的分析，便可以总结出一个概念：
当一根绳子静止在地面的时候，它处于松弛状态，没有张力。
但是当一个波传到这里的时候，绳子会变成一个波的形状，这时候就存在张力了。
正是这种张力让绳子上的点上下振动，所以，分析这种张力对绳子的影响就成了分析波动现象的关键。
接着徐云又在纸上写下了一个公式：
F=ma。
没错。
正是小牛总结出的牛二定律。
众所周知。
小牛第一定律告诉我们“一个物体在不受力或者受到的合外力为0的时候会保持静止或者匀速直线运动状态”，那么如果合外力不为0呢？
小牛第二定律就接着说了：
如果合外力F不为零，那么物体就会有一个加速度a，它们之间的关系就由F=ma来定量描述。
也就是说。
如果我们知道一个物体的质量m，只要你能分析出它受到的合外力F。
那么我们就可以根据小牛第二定律F=ma，计算出它的加速度a。
知道加速度，就知道它接下来要怎么动了。
随后徐云又在函数图像的某段上随意取了两个点。
一个写上A，一个写上B，二者的弧度标注为了△l。
写完后将它朝小麦面前一推：
“麦克斯韦同学，你来分析一下这段区间收到的合外力试试？不考虑重力。”
小麦闻言一愣，指了指自己，诧异道：
“我？”
徐云点了点头，心中微微一叹。
今天他要做的事情对于法拉第、对于电磁学界、或者说大点对于整个人类的历史进程，都会有着极大的促进意义。
但唯独对于小麦和赫兹二人而言，却未必是个好事。
因为这代表着有些原本属于他们的贡献被抹去了。
就像某天一个月薪4000的打工人忽然知道自己原本可能成为亿万富翁，结果有个重生者以‘人类共同发展’为由把属于你的机会给夺走了，你会作何感想？
平心而论，有些不公平。
所以在徐云的内心深处，他对小麦是有些愧疚感的。
往后怎么补偿小麦另说，总之在眼下这个过程里，他能做的便是让小麦尽可能的进入这些大佬的视线里。
当然了。
小麦并不知道徐云内心的想法，此时他正拿着钢笔，刷刷刷的在纸上写着受力分析：
“罗峰先生说不考虑重力，那么，就只要分析波段AB两端的张力T就行了。”
“波段AB受到A点朝左下方的张力T和B点朝右上方的张力T，彼此对等。”
“但波段的区域是弯曲的，因此两个T的方向并不相同。”
“假设A点处张力的方向跟横轴夹角为θ，B点跟横轴的夹角就明显不一样了，记为θ+Δθ。”
“因为波段上的点在波动时是上下运动，所以只需要考虑张力T在上下方向上的分量。”
“B点处向上的张力为T·sin（θ+Δθ），A点向下的张力为T·sinθ，那么，整个AB段在竖直方向上受到的合力就等于这两个力相减.......”
很快。
小麦在纸上写下了一个公式：
F=
T·sin（θ+Δθ）-T·sinθ。
徐云满意的点了点头，又说道：
“那么波的质量是多少呢？”
“波的质量？”
这一次。
小麦的眉头微微皱了起来。
如果假设波段单位长度的质量为μ，那么长度为Δl的波段的质量显然就是μ·Δl。
但是，因为徐云所取的是非常小的一段区间。
假设A点的横坐标为x，B点的横坐标为x+Δx。
也就是说绳子AB在横坐标的投影长度为Δx。
那么当所取的绳长非常短，波动非常小的时候，则可以近似用Δx代替Δl。
这样绳子的质量就可以表示为......
μ·Δx
与此同时。
一旁的基尔霍夫忽然想到了什么，瞳孔微微一缩，用有些干涩的英文说道：
“等等......合外力和质量都已经确定了，如果再求出加速度....”
听到基尔霍夫这番话。
原本就不怎么喧闹的教室，忽然又静上了几分。
对啊。
不知不觉中，徐云已经推导出了合外力和质量！
如果再推导出加速度......
那么不就可以以牛二的形式，表达出波在经典体系下的方程了吗？
想到这里。
几位大佬纷纷拿出纸笔，尝试性的计算起了最后的加速度。
说起加速度，首先就要说说它的概念：
这个是用来衡量速度变化快慢的量。
加速度嘛，肯定是速度加得越快，加速度的值就越大。
比如我们经常可以听到的“我要加速啦”等等。
假如一辆车第1秒的速度是2m/s，第2秒的速度是4m/s。
那么它的加速度就是用速度的差（4-2=2）除以时间差（2-1=1），结果就是2m/s2。
再来回想一下，一辆车的速度是怎么求出来的？
当然是用距离的差来除以时间差得出的数值。
比如一辆车第1秒钟距离起点20米，第2秒钟距离起点50米。
那么它的速度就是用距离的差（50-20=30）除以时间差（2-1=1），结果就是30m/s。
不知道大家从这两个例子里发现了什么没有？
没错！
用距离的差除以时间差就得到了速度，再用速度的差除以时间差就得到了加速度，这两个过程都是除以时间差。
那么......
如果把这两个过程合到一块呢？
那是不是就可以说：
距离的差除以一次时间差，再除以一次时间差就可以得到加速度？
当然了。
这只是一种思路，严格意义上来说，这样表述并不是很准确，但是可以很方便的让大家理解这个思想。
如果把距离看作关于时间的函数，那么对这个函数求一次导数：
就是上面的距离差除以时间差，只不过趋于无穷小，就得到了速度的函数、
对速度的函数再求一次导数，就得到了加速度的表示。
鲜为人同学们懂不懂不知道，反正在场的这些大佬们很快便都想到了这一点。
是的。
之前所列的函数f(x，t)描述的内容，就是波段上某一点在不同时间t的位置！
所以只要对对f(x，t)求两次关于时间的导数，自然就得到了这点的加速度a。
因为函数f是关于x和t两个变量的函数，所以只能对时间的偏导?f/?t，再求一次偏导数就加个2上去。
因此很快。
包括法拉第在内，所有大佬们都先后写下了一个数值：
加速度a=?2f/?t2。
而将这个数值与之前的合力与质量相结合，那么一个新的表达式便出现了：
F=
T·sin（θ+Δθ）-T·sinθ=μ·Δx?2f/?t2。
随后威廉·韦伯认真看了眼这个表达式，眉头微微皱了些许：
“罗峰同学，这就是最终的表达式吗？我似乎感觉好像还能化简？”
徐云点了点头：
“当然可以。”
F=
T·sin（θ+Δθ）-T·sinθ=μ·Δxa?2f/?t2。
这是一个最原始的方程组，内容不太清晰，方程左边的东西看着太麻烦了。
因此还需要对它进行一番改造。
至于改造的思路在哪儿呢？
当然是sinθ了。
只见徐云拿起笔，在纸上画了个直角三角形。
众所周知。
正弦值sinθ等于对边c除以斜边a，正切值tanθ等于对边c除以邻边b。
徐云又画了个夹角很小的直角三角形，角度估摸着只有几度：
“但是一旦角度θ非常非常小，那么邻边b和斜边a就快要重合了。”
“这时候我们是可以近似的认为a和b是相等的，也就是a≈b。”
随后在纸上写到：
【于是就有c/b≈c/a，即tanθ≈sinθ。】
【之前的公式可写成F=
T·tan（θ+Δθ）-T·tanθ=μ·Δxa?2f/?t2。】
“稍等一下。”
看到这句话，法拉第忽然皱起了眉头，打断了徐云。
很明显。
此时他已经隐隐出现了掉队的迹象：
“罗峰同学，用tanθ替代sinθ的意义是什么？”
徐云又看了小麦，小麦当即心领神会：
“法拉第先生，因为正切值tanθ还可以代表一条直线的斜率呀，也就是代表曲线在某一点的导数。”
“正切值的表达式是tanθ=c/b，如果建一个坐标系，那么这个c刚好就是直线在y轴的投影dy，b就是在x轴的投影dx。”
“它们的比值刚好就是导数dy/dx，也就是说tanθ=dy/dx。”
法拉第认真听完，花了两分钟在纸上演算了一番，旋即恍然的一拍额头：
“原来如此，我明白了，请继续吧，罗峰同学。”
徐云点点头，继续解释道：
“因为波的函数f(x，t)是关于x和t的二元函数，所以我们只能求某一点的偏导数。”
“那么正切值就等于它在这个点的偏导数tanθ=?f/?x，原来的波动方程就可以写成这样......”
随后徐云在纸上写下了一个新方程：
T（?f/?xlx+△x-?f/?xlx）=μ·Δxa?2f/?t2。
看起来比之前的要复杂一些，但现场的这些大佬的目光，却齐齐明亮了不少。
到了这一步，接下来的思路就很清晰了。
只要再对方程的两边同时除以Δx，那左边就变成了函数?f/?x在x+Δx和x这两处的值的差除以Δx。
这其实就是?f/?x这个函数的导数表达式。
也就是说。
两边同时除以一个Δx之后，左边就变成了偏导数?f/?x对x再求一次导数，那就是f(x，t)对x求二阶偏导数了。
同时上面已经用?2f/?t2来表示函数对t的二阶偏导数，那么这里自然就可以用?2f/?x2来表示函数对x的二阶偏导数。
然后两边再同时除以T，得到方程就简洁多了：
?2f/?x=μ?2f/T?x2。
同时如果你脑子还没晕的话便会发现.....
μ/T的单位.....
刚好就是速度平方的倒数！
也就是说如果我们把一个量定义成T/μ的平方根，那么这个量的单位刚好就是速度的单位。
可以想象，这个速度自然就是这个波的传播速度v：
v2=T/μ。
因此将这个值代入之后，一个最终的公式便出现了：
?2f/?x=?2f/v2?x2。
这个公式在后世又叫做......
经典波动方程。
当然了。
这个方程没有没有考虑量子效应。
如果要考虑量子效应，这个经典的波动方程就没用了，就必须转而使用量子的波动方程，那就是大名鼎鼎的薛定谔方程。
薛定谔就是从这个经典波动方程出发，结合德布罗意的物质波概念，硬猜出了薛定谔方程。
没错，靠猜的。
具体内容就先不赘述了，总之这个方程让物理学家们从被海森堡的矩阵支配的恐惧中解脱了出来，重新回到了微分方程的美好世界。
如今徐云不需要考虑量子方面的事儿，因此有经典波动方程就足够了。
接着他又在纸上写下了一道新的公式。
而随着这道新公式的写出，法拉第赫然发现......
自己剩下的那一片硝酸甘油，好像不太够用了。
..........
注：
有人说伏特是我给bug打的补丁，无语....我会犯这种常识性的错误吗，之前泰勒展开我都用韩立展开替代了，光伏这个写出来这么久没改还不能说明啥嘛。
类似的伏笔我之前又不是没写过，甚至我在《来夫剑诀》那章就说过这个功法下一个副本会用到，当时就已经把小麦副本设计好了。
留下来的线被说成打补丁，一言难尽.jpg。
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